Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.3

Associez $5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{10}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $2 x^{4}$ par $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ et $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{2}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{2}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{10}{5}$ et $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $2 x^{4}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15)$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $20 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $48 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 10 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $10$ .

$4, 6$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5.6

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, - 6$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 4, - 6$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Étape 9.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

Étape 9.1.4

Multipliez $60$ par $0$ .

$0 + 0 + 96 (0)$

Étape 9.1.5

Multipliez $96$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 8$ , de l’intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée première $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $4096$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $20$ par $- 512$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $48$ par $64$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

Soustrayez $10240$ de $8192$ .

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

Étape 10.2.2.2.2

Additionnez $- 2048$ et $3072$ .

$f' (- 8) = 1024$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $1024$ .

$1024$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 5$ , de l’intervalle $(- 6, - 4)$ dans la dérivée première $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $625$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $20$ par $- 125$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.5

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

Étape 10.3.2.1.6

Multipliez $48$ par $25$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.2.1

Soustrayez $2500$ de $1250$ .

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $- 1250$ et $1200$ .

$f' (- 5) = - 50$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 50$ .

$- 50$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée première $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $20$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

Étape 10.4.2.1.6

Multipliez $48$ par $4$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.4.2.2.1

Soustrayez $160$ de $32$ .

$f' (- 2) = - 128 + 192$

Étape 10.4.2.2.2

Additionnez $- 128$ et $192$ .

$f' (- 2) = 64$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $64$ .

$64$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.2.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{4}$ .

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Étape 10.5.2.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $20$ par $8$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

Étape 10.5.2.1.6

Multipliez $48$ par $4$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

Étape 10.5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.5.2.2.1

Additionnez $32$ et $160$ .

$f' (2) = 192 + 192$

Étape 10.5.2.2.2

Additionnez $192$ et $192$ .

$f' (2) = 384$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $384$ .

$384$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 6$ , $x = - 6$ est un maximum local.

$x = - 6$ est un maximum local

Étape 10.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 4$ , $x = - 4$ est un minimum local.

$x = - 4$ est un minimum local

Étape 10.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ .

$x = - 6$ est un maximum local

$x = - 4$ est un minimum local

$x = - 6$ est un maximum local

$x = - 4$ est un minimum local

Étape 11