Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x) - \csc (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \csc (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \sin (x) - (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sin (x) + 1 (\csc (x) \cot (x))$

Étape 3.4

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$- \sin (x) + \csc (x) \cot (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cot (x) \csc (x) - \sin (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) - \sin (x)$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \sin (x)$

Étape 4.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} - \sin (x)$

Étape 4.2.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} - \sin (x)$

Étape 4.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \sin (x)$

Étape 4.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \sin (x)$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \sin (x)$

Étape 4.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 4.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cot (x) - \sin (x)$

Étape 4.3.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\csc (x) \cot (x) - \sin (x)$