Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (x) + \tan (x))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) + \tan (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\sec (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sec (y)$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x$ .

$\sec (x) \tan (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \tan (y)$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3.1.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x) = 1$

Étape 5.3

Factorisez $x' \sec (x)$ à partir de $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x' \sec (x)$ à partir de $x' \sec^{2} (x)$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x) = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $x' \sec (x)$ à partir de $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x)$ .

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ par $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ par $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ .

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x)$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $\tan (x) + \sec (x)$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Séparez les fractions.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Étape 5.4.3.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 5.4.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} (1 \cos (x))$

Étape 5.4.3.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cos (x)$

Étape 5.4.3.5

Associez $\frac{1}{\tan (x) + \sec (x)}$ et $\cos (x)$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$