Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 5 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 5 \int u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- 5 (- u^{- 1} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- 5 (- u^{- 1} + C)$ comme $- 5 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 5 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 \frac{1}{u} + C$

Étape 7.2.2

Associez $5$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{5}{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$\frac{5}{1 - x} + C$