Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} & x \neq - 3 \\ 9 & x = - 3 \end{cases}$

Étape 1

Déterminez la limite de $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ lorsque $x$ approche de $- 3$ .

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Étape 1.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.4

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.2.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.6.1.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{9 - 18 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.2.6.3

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 1.1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Étape 1.1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Étape 1.1.1.3.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.4.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.6

Additionnez $2 x + 6$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Étape 1.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Étape 1.1.3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + 0}$

Étape 1.1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1}$

Étape 1.1.4

Divisez $2 x + 6$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + 6$

Étape 1.2

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + 6$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$2 \cdot - 3 + 6$

Étape 1.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.4.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 + 6$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$9$

Étape 3

Comme la limite de $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ lorsque $x$ approche de $- 3$ n’est pas égale à la valeur de la fonction sur $x = - 3$ , la fonction n’est pas continue sur $x = - 3$ .

Pas continu

Étape 4