Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sin (2 x)$ . Alors $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sin (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 1.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $e^{u_{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Étape 5.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.85914091 \dots$