Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x + 1}{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $1 \cdot 1$ de $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}}$