Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.12

Associez les fractions.

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Étape 4.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.12.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.12.3

Associez $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$5 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.16

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.16.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.16.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.16.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 4.18

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.19

Pour écrire ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.21.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4

Divisez $2$ par $2$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.22

Simplifiez ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$5 \frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.23

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$5 \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.24

Associez $5$ et $\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$