Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\frac{5 x - 4}{x \sqrt[7]{x^{2} + 1}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$y = \ln (\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{1}{\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}]$

Étape 4.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$1 \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}]$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4}$ par $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 4}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 4$ et $g (x) = x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [5 x - 4] - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.5

Différenciez.

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Étape 4.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.5.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.5.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.5.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 + 0) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \cdot 5 - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 \cdot (x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}]}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{7}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{7}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {u_{2}}^{\frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.9

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.11.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 6}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.12

Associez les fractions.

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Étape 4.12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{6}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.12.2

Associez $\frac{1}{7}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{6}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.12.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{6}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (x (\frac{1}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.12.4

Associez $\frac{1}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ et $x$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.16

Associez les fractions.

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Étape 4.16.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.16.2

Associez $2$ et $\frac{x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.16.3

Associez $\frac{2 x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ et $x$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 x \cdot x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 (x^{1} x)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 x^{1 + 1}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 x^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.21

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

Étape 4.22

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ par $1$ .

Étape 4.23

Pour écrire ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 x^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.24

Associez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ et $\frac{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) (\frac{2 x^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}})}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}})}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.26

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.26.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.26.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7} + \frac{1}{7}} \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.26.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{6 + 1}{7}} \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.26.4

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{7}} \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.26.5

Divisez $7$ par $7$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.27

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.27.1

Simplifiez ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 7$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + (x^{2} + 1) \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.27.2

Déplacez $7$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4} \cdot \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + 7 \cdot (x^{2} + 1)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.28

Multipliez $\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{5 x - 4}$ par $\frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + 7 (x^{2} + 1)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{{(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + 7 (x^{2} + 1)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) {(x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Étape 4.29

Simplifiez

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Étape 4.29.1

Appliquez la règle de produit à $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} - (5 x - 4) \frac{2 x^{2} + 7 (x^{2} + 1)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} + (- (5 x) - - 4) \frac{2 x^{2} + 7 (x^{2} + 1)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} + (- (5 x) - - 4) \frac{2 x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot 1}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.29.4.1

Associez les exposants.

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Étape 4.29.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} + (- 5 x - - 4) \frac{2 x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot 1}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} + (- 5 x + 4) \frac{2 x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot 1}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.1.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} + (- 5 x + 4) \frac{2 x^{2} + 7 x^{2} + 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.29.4.2.1

Additionnez $2 x^{2}$ et $7 x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} + (- 5 x + 4) \frac{9 x^{2} + 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.2.2

Multipliez $- 5 x + 4$ par $\frac{9 x^{2} + 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} + \frac{(- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.3

Pour écrire $5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + \frac{(- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.4

Associez $5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ et $\frac{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (\frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}})}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} + \frac{(- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}})}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} (7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}) + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.29.4.6.1

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.29.4.6.1.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7} + \frac{1}{7}} \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{6 + 1}{7}} \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.1.4

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{7}} \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.1.5

Divisez $7$ par $7$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x {(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.2

Simplifiez $5 x {(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 7$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x (x^{2} + 1) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{(5 x \cdot x^{2} + 5 x \cdot 1) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.29.4.6.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{(5 (x^{2} x) + 5 x \cdot 1) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.29.4.6.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{(5 (x^{2} x^{1}) + 5 x \cdot 1) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{(5 x^{2 + 1} + 5 x \cdot 1) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{(5 x^{3} + 5 x \cdot 1) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{(5 x^{3} + 5 x) \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{5 x^{3} \cdot 7 + 5 x \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.7

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 5 x \cdot 7 + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.8

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x + (- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.9

Développez $(- 5 x + 4) (9 x^{2} + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.29.4.6.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 x (9 x^{2} + 7) + 4 (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 x (9 x^{2}) - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2} + 7)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 x (9 x^{2}) - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.29.4.6.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.29.4.6.10.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 \cdot 9 (x^{2} x) - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.29.4.6.10.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 \cdot 9 x^{2 + 1} - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 5 \cdot 9 x^{3} - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.3

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 45 x^{3} - 5 x \cdot 7 + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.4

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 45 x^{3} - 35 x + 4 (9 x^{2}) + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.5

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 45 x^{3} - 35 x + 36 x^{2} + 4 \cdot 7}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.10.6

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{35 x^{3} + 35 x - 45 x^{3} - 35 x + 36 x^{2} + 28}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.11

Soustrayez $45 x^{3}$ de $35 x^{3}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{- 10 x^{3} + 35 x - 35 x + 36 x^{2} + 28}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.12

Soustrayez $35 x$ de $35 x$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{- 10 x^{3} + 0 + 36 x^{2} + 28}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.13

Additionnez $- 10 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{- 10 x^{3} + 36 x^{2} + 28}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.14

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x^{3} + 36 x^{2} + 28$ .

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Étape 4.29.4.6.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x^{3}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{2 (- 5 x^{3}) + 36 x^{2} + 28}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.14.2

Factorisez $2$ à partir de $36 x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{2 (- 5 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 28}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.14.3

Factorisez $2$ à partir de $28$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{2 (- 5 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (14)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.14.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5 x^{3}) + 2 (18 x^{2})$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (14)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.6.14.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (14)$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}} \frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.7

Associez les exposants.

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Étape 4.29.4.7.1

Associez $\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14)}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.7.2

Associez $\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ et ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.8

Réduisez l’expression $\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.29.4.8.1

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}$ à partir de $2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}} (2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{7}})}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.8.2

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}$ à partir de $7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}} (2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{7}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}} \cdot 7}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}} (2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{7}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{7}} \cdot 7}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{7}}}{7}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.4.9

Placez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{- 5}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.5

Associez des termes.

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Étape 4.29.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{- - \frac{5}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{1 (\frac{5}{7})}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.5.3

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2})}$

Étape 4.29.5.4

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7}})}^{2}$ .

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Étape 4.29.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{7} \cdot 2})}$

Étape 4.29.5.4.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7}}}}{(5 x - 4) (x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{7}})}$

Étape 4.29.5.5

Réécrivez $\frac{\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7}}}}{(5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{7}}}$ comme un produit.

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7}}} \cdot \frac{1}{(5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 4.29.5.6

Multipliez $\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7}}}$ par $\frac{1}{(5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{7}}}$ .

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7}} ((5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{7}})}$

Étape 4.29.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 ((5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{7} + \frac{2}{7}})}$

Étape 4.29.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 ((5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 + 2}{7}})}$

Étape 4.29.5.9

Additionnez $5$ et $2$ .

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 ((5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{7}})}$

Étape 4.29.5.10

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.29.5.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 ((5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{7}})}$

Étape 4.29.5.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 ((5 x - 4) x^{2} {(x^{2} + 1)}^{1})}$

Étape 4.29.5.11

Simplifiez

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x}{7 ((5 x - 4) x^{2} (x^{2} + 1))}$

Étape 4.29.5.12

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.29.5.12.1

Factorisez $x$ à partir de $2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14) x$ .

$\frac{x (2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14))}{7 (5 x - 4) x^{2} (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.5.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.29.5.12.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 (5 x - 4) x^{2} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x (2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14))}{x (7 (5 x - 4) x (x^{2} + 1))}$

Étape 4.29.5.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14))}{x (7 (5 x - 4) x (x^{2} + 1))}$

Étape 4.29.5.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14)}{7 (5 x - 4) x (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 5 x^{3} + 18 x^{2} + 14)}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{2 (- (5 x^{3}) + 18 x^{2} + 14)}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.8

Factorisez $- 1$ à partir de $18 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (5 x^{3}) - (- 18 x^{2}) + 14)}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3}) - (- 18 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (5 x^{3} - 18 x^{2}) + 14)}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.10

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$\frac{2 (- (5 x^{3} - 18 x^{2}) - 1 (- 14))}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3} - 18 x^{2}) - 1 (- 14)$ .

$\frac{2 (- (5 x^{3} - 18 x^{2} - 14))}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.12

Réécrivez $- (5 x^{3} - 18 x^{2} - 14)$ comme $- 1 (5 x^{3} - 18 x^{2} - 14)$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x^{3} - 18 x^{2} - 14))}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.29.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (5 x^{3} - 18 x^{2} - 14)}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{2 (5 x^{3} - 18 x^{2} - 14)}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (5 x^{3} - 18 x^{2} - 14)}{7 x (5 x - 4) (x^{2} + 1)}$