Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{16 x^{4} - 3 x^{3} + 8 x}{x^{3}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x^{4} - 3 x^{3} + 8 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x^{4}$ .

$\int \frac{x (16 x^{3}) - 3 x^{3} + 8 x}{x^{3}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$\int \frac{x (16 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + 8 x}{x^{3}} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$\int \frac{x (16 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + x \cdot 8}{x^{3}} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (16 x^{3}) + x (- 3 x^{2})$ .

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2}) + x \cdot 8}{x^{3}} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (16 x^{3} - 3 x^{2}) + x \cdot 8$ .

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8)}{x^{3}} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8)}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8)}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{16 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{x^{2}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) x^{- 2} d x$

Étape 3

Développez $(16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) x^{- 2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2}) x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 16 x^{3} x^{- 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 16 x^{3 - 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int 16 x^{1} - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.5

Simplifiez

$\int 16 x - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 16 x - 3 x^{2 - 2} + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int 16 x - 3 x^{0} + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 16 x - 3 \cdot 1 + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\int 16 x - 3 + 8 x^{- 2} d x$

Étape 3.10

Déplacez $- 3$ .

$\int 16 x + 8 x^{- 2} - 3 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 16 x d x + \int 8 x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Étape 5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$16 \int x d x + \int 8 x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 8 x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Étape 7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (- x^{- 1} + C) + \int - 3 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (- x^{- 1} + C) - 3 x + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (- x^{- 1} + C) - 3 x + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$8 x^{2} - \frac{8}{x} - 3 x + C$