Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{30}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $30$ et $3$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $10 x^{2}$ par $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $10 x^{2} - 2 x - 8$ et $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{2} - 2 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$f'' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $20 x - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{30}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $30$ et $3$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $10 x^{2}$ par $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $10 x^{2} - 2 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 10 x^{2} - 2 x - 8$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{2}$ .

$2 (5 x^{2}) - 2 x - 8 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) - 8 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 4) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4)$ .

$2 (5 x^{2} - x - 4) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 (5 x^{2} - (x) - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $4$ plus $- 5$

$2 (5 x^{2} + (4 - 5) x - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (5 x^{2} + 4 x - 5 x - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((5 x^{2} + 4 x) - 5 x - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x (5 x + 4) - (5 x + 4)) = 0$

Étape 5.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 4$ .

$2 ((5 x + 4) (x - 1)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $5 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $5 x + 4$ égal à $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $5 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 4$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{5}$

Étape 5.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{4}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 (- \frac{4}{5}) - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$20 (\frac{- 4}{5}) - 2$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$5 (4) \frac{- 4}{5} - 2$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 4 \frac{- 4}{5} - 2$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot - 4 - 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$- 16 - 2$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $- 16$ .

$- 18$

Étape 10

$x = - \frac{4}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{4}{5}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{4}{5}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{4}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot {(- \frac{4}{5})}^{3} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{5})}^{3}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{5^{3}})) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{4^{3}}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{125}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{64}{125}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 (2)}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.5.3

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 64}{25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{- 64}{25}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2 \cdot - 64}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.8

Multipliez $3$ par $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.10.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.11

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.11.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.11.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 11.2.1.11.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{3} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{4^{2}}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.13

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.14

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.15

Multipliez $- 8 (- \frac{4}{5})$ .

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Étape 11.2.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + 8 (\frac{4}{5}) + 48$

Étape 11.2.1.15.2

Associez $8$ et $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{8 \cdot 4}{5} + 48$

Étape 11.2.1.15.3

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{32}{5} + 48$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{16}{25}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{5} + 48$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{16}{25}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} + 48$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{32}{5}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} \cdot \frac{15}{15} + 48$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{32}{5}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + 48$

Étape 11.2.2.5

Écrivez $48$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1}$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{48}{1}$ par $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1} \cdot \frac{75}{75}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $\frac{48}{1}$ par $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Étape 11.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $25 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 25} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Étape 11.2.2.9

Multipliez $3$ par $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Étape 11.2.2.10

Multipliez $5$ par $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{75} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $32$ par $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 48 \cdot 75}{75}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $48$ par $75$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 3600}{75}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.5.1

Soustrayez $48$ de $- 128$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 176 + 480 + 3600}{75}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 176$ et $480$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{304 + 3600}{75}$

Étape 11.2.5.3

Additionnez $304$ et $3600$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{3904}{75}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{3904}{75}$ .

$y = \frac{3904}{75}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 (1) - 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $20$ par $1$ .

$20 - 2$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $20$ .

$18$

Étape 14

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot 1 - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Étape 15.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 + 48$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} - 8 + 48$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 48$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8 + 48$

Étape 15.2.2.4

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 48$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 48$

Étape 15.2.2.7

Écrivez $48$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1}$

Étape 15.2.2.8

Multipliez $\frac{48}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $\frac{48}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{10 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 48 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $48$ par $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 144}{3}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.5.1

Soustrayez $3$ de $10$ .

$f (1) = \frac{7 - 24 + 144}{3}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $24$ de $7$ .

$f (1) = \frac{- 17 + 144}{3}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $- 17$ et $144$ .

$f (1) = \frac{127}{3}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{127}{3}$ .

$y = \frac{127}{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ .

$(- \frac{4}{5}, \frac{3904}{75})$ est un maximum local

$(1, \frac{127}{3})$ est un minimum local

Étape 17