Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{- 4}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.6

Associez $\frac{- 12}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 2.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.7.2.4

Divisez $- 4 x^{2}$ par $1$ .

$- 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 4 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{2} + 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 4 x^{2} + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} + 4$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 x + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 8 x$ et $0$ .

$f''' (x) = - 8 x$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 x$ .

$- 8 x$