Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 5$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 1}$ quand $x = 1$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$	$5$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$13$

Étape 2.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(13)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(13)$ sous le terme suivant dans le dividende $(5)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$

Étape 2.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$	$18$

Étape 2.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Étape 2.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Étape 3

Comme $1 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $1$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $1$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 5}$ quand $x = 5$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$	$9$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(45)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$	$53$

Étape 4.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(53)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(265)$ sous le terme suivant dans le dividende $(5)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$

Étape 4.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$	$270$

Étape 4.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Étape 4.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Étape 5

Comme $5 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $5$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $5$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x + 5}$ quand $x = - 5$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$	$- 1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$	$13$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(13)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 65)$ sous le terme suivant dans le dividende $(5)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$	$- 60$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + - 1 x + 13 + \frac{- 60}{x + 5}$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} - x + 13 - \frac{60}{x + 5}$

Étape 7

Comme $- 5 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 5$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 5$

Étape 8

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $1, 5$

Borne inférieure : $- 5$

Étape 9