Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{1}{x}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 7.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- 2}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{x^{- 2}}{2})$

Étape 9.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}}$

Étape 10.2.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

Étape 10.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Étape 10.2.3.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 10.2.3.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 10.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 10.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Étape 10.2.3.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$