Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{8 x^{4} - 21 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $8 x^{4} - 21 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $8 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) - 21 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 21 x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x) + 10 x^{2}}{x} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $10 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x)$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2} - 21 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (8 x^{2} - 21 x) + x^{2} \cdot 10$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2} - 21 x + 10)}{x} d x$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (8 x^{2} - 21 x + 10)$ .

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x} d x$

Étape 1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x^{1}} d x$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{x (8 x^{2} - 21 x + 10)}{1} d x$

Étape 1.2.2.5

Divisez $x (8 x^{2} - 21 x + 10)$ par $1$ .

$\int x (8 x^{2} - 21 x + 10) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (8 x^{2} - 21 x) + x \cdot 10 d x$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (8 x^{2}) + x (- 21 x) + x \cdot 10 d x$

Étape 2.3

Remettez dans l’ordre $x$ et $8$ .

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} + x (- 21 x) + x \cdot 10 d x$

Étape 2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 21$ .

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} - 21 \cdot x \cdot x + x \cdot 10 d x$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $10$ .

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} - 21 \cdot x \cdot x + 10 \cdot x d x$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 8 (x^{1} x^{2}) - 21 x \cdot x + 10 x d x$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 8 x^{1 + 2} - 21 x \cdot x + 10 x d x$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int 8 x^{3} - 21 x \cdot x + 10 x d x$

Étape 2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 8 x^{3} - 21 (x^{1} x) + 10 x d x$

Étape 2.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 8 x^{3} - 21 (x^{1} x^{1}) + 10 x d x$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 8 x^{3} - 21 x^{1 + 1} + 10 x d x$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 8 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 8 x^{3} d x + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Étape 4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int x^{3} d x + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Étape 6

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 21$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 \int x^{2} d x + \int 10 x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 10 x d x$

Étape 8

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 \int x d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 10 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 10 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 10.2.2

Associez $10$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{10 x^{2}}{2} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{1} + C$

Étape 10.2.3.2.4

Divisez $5 x^{2}$ par $1$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x^{2} + C$