Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Étape 4

Laissez $u = x^{3} + 2003$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x^{3} + 2003$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2003$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

Étape 4.1.4

Comme $2003$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2003$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \sin (u) d u$

Étape 7.3

Multipliez $\int \sin (u) d u$ par $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$