Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Étape 1.1.4

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Étape 1.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $0$ et sur $2$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$- \ln (\frac{0}{2})$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $2$ .

$- \ln (0)$

Étape 7.4

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$- \ln (0)$

Étape 8

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini