Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Multipliez $- 5$ par $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Étape 1.2.2

Multipliez $100$ par $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Étape 1.3

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Étape 3

Évaluez $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $20$ et $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $20$ par $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $40$ et $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $420$ par $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$50 (\frac{17220}{3})$

Étape 3.3.2.3

Associez $50$ et $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $50$ par $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Étape 3.3.2.4.2

Divisez $861000$ par $3$ .

$287000$

Étape 4

Évaluez $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $20$ et $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $20$ par $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 250 \cdot 420$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 250$ par $420$ .

$- 105000$

Étape 5

Évaluez $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(100) (20)$

Étape 5.3

Multipliez $100$ par $20$ .

$2000$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$287000 - 105000 + 2000$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $105000$ de $287000$ .

$182000 + 2000$

Étape 7.2

Additionnez $182000$ et $2000$ .

$184000$