Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = 4 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 8 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $y$ est $- 8 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x x') + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [9 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $y$ est $9 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + \frac{d}{d y} [π]$

Étape 3.5

Comme $π$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $π$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + 0$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Additionnez $\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$ et $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$ .

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$ .

$4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Étape 5.3

Factorisez $x'$ à partir de $4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $4 x' \cos (4 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x)) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 16 x x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + 9 x' = 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $9 x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Étape 5.3.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Étape 5.3.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ par $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ par $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$