Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Étape 2

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 \int_{0}^{1} \sin (u) d u$

Étape 3

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$3 (- \cos (u)]_{0}^{1})$

Étape 4

Évaluez $- \cos (u)$ sur $1$ et sur $0$ .

$3 (- \cos (1) + \cos (0))$

Étape 5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 (- \cos (1) + 1)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$3 (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $0.5403023$ .

$3 (- 0.5403023 + 1)$

Étape 6.3

Additionnez $- 0.5403023$ et $1$ .

$3 \cdot 0.45969769$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $0.45969769$ .

$1.37909308$