Calcul infinitésimal Exemples

$5 x - 3 {(x - 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) = 5 x - 3 ((x - 1) (x - 1))$

Étape 1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 5 x - 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3$

Étape 2

Additionnez $5 x$ et $6 x$ .

$f (x) = - 3 x^{2} + 11 x - 3$

Étape 3

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{11}{2 (- 3)}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = - \frac{11}{- 6}$

Étape 4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{11}{6}$

Étape 4.3.3

Multipliez $- - \frac{11}{6}$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{11}{6})$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{11}{6}$ par $1$ .

$x = \frac{11}{6}$

Étape 5

Évaluez $f (\frac{11}{6})$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{11}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{11}{6}) = - 3 {(\frac{11}{6})}^{2} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{11^{2}}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{121}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\frac{11}{6}) = 3 (- 1) (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11}{6}) = - 1 (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{121}{12})$ comme $- (\frac{121}{12})$ .

$f (\frac{11}{6}) = - (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $11 (\frac{11}{6})$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Associez $11$ et $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{11 \cdot 11}{6} - 3$

Étape 5.2.1.6.2

Multipliez $11$ par $11$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} - 3$

Étape 5.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $\frac{121}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} \cdot \frac{2}{2} - 3$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{121}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} - 3$

Étape 5.2.2.3

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1}$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Étape 5.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{12} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 121 \cdot 2 - 3 \cdot 12}{12}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $121$ par $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 3 \cdot 12}{12}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 36}{12}$

Étape 5.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 121$ et $242$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{121 - 36}{12}$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $36$ de $121$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{85}{12}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{85}{12}$ .

$\frac{85}{12}$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(\frac{11}{6}, \frac{85}{12})$

Étape 7