Calcul infinitésimal Exemples

$S = \frac{\sqrt{h w}}{60}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{h w}$ comme ${(h w)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}]$

Étape 1.2

Comme $\frac{1}{60}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ et $g (w) = h w$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{{(h w)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 7.3

Placez ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w])$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{60}$ .

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}} \cdot 60} \frac{d}{d w} [h w]$

Étape 7.5

Multipliez $60$ par $2$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w]$

Étape 8

Comme $h$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $h w$ par rapport à $w$ est $h \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} (h \frac{d}{d w} [w])$

Étape 9

Associez $h$ et $\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [w]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 11

Multipliez $\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à $h w$ .

$\frac{h}{120 (h^{\frac{1}{2}} w^{\frac{1}{2}})}$

Étape 12.2

Associez des termes.

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Étape 12.2.1

Placez $h^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{h \cdot h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.2

Multipliez $h$ par $h^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $h$ par $h^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 12.2.2.1.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{h^{1} h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{h^{1 - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{h^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{h^{\frac{2 - 1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{h^{\frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$