Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 (x + \frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 (x + \frac{π}{2})$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 + 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 (x + \frac{π}{2})$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

Étape 1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x + \frac{π}{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]))$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

Étape 1.2.6

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + 0)))$

Étape 1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \cdot 1))$

Étape 1.2.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \cdot 2)$

Étape 1.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 (x + \frac{π}{2}))$ .

$0 + 3 (2 \cdot \cos (2 (x + \frac{π}{2})))$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$0 + 6 \cos (2 (x + \frac{π}{2}))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 + 6 \cos (2 x + 2 \frac{π}{2})$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{π}{2}$ .

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

Étape 1.3.2.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$0 + 6 \cos (2 x + π)$

Étape 1.3.2.3

Additionnez $0$ et $6 \cos (2 x + π)$ .

$6 \cos (2 x + π)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \cos (2 x + π)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + π)]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (2 x + π))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x + π$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + π$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + π$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = - 6 (\sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (π))$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (π))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (π))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + \frac{d}{d x} (π))$

Étape 2.3.6

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) \cdot 2$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 \sin (2 x + π)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 \cos (2 x + π) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $6 \cos (2 x + π) = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $6 \cos (2 x + π) = 0$ par $6$ .

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\cos (2 x + π)$ par $1$ .

$\cos (2 x + π) = \frac{0}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$\cos (2 x + π) = 0$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x + π = \arccos (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x + π = \frac{π}{2}$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{π}{2} - π$

Étape 7.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x = \frac{π - 2 π}{2}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $2 π$ de $π$ .

$2 x = \frac{- π}{2}$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x = - \frac{π}{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x + π = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 10.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x + π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.1.2

Associez les fractions.

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Étape 10.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 10.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x + π = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 10.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x + π = \frac{3 π}{2}$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{3 π}{2} - π$

Étape 10.2.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.2.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Étape 10.2.5.2

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 10.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 10.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 10.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 11

La solution de l’équation est $2 x + π = \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 \sin (2 (- \frac{π}{4}) + π)$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{4} + π)$

Étape 13.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 (2)} + π)$

Étape 13.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 2} + π)$

Étape 13.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 12 \sin (\frac{- π}{2} + π)$

Étape 13.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π)$

Étape 13.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 13.3

Associez les fractions.

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Étape 13.3.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 13.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 12 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2})$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$- 12 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})$

Étape 13.4.2

Additionnez $- π$ et $2 π$ .

$- 12 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 13.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Étape 13.6

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12$

Étape 14

$x = - \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{4}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 15.2.1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Étape 15.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Étape 15.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + π \cdot 2}{4}))$

Étape 15.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + 2 \cdot π}{4}))$

Étape 15.2.1.4.2

Additionnez $- π$ et $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Étape 15.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 15.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot 1$

Étape 15.2.1.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3$

Étape 15.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 4$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 \sin (2 (\frac{π}{4}) + π)$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 (2)} + π)$

Étape 17.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2} + π)$

Étape 17.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π)$

Étape 17.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 17.3

Associez les fractions.

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Étape 17.3.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 17.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 12 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Étape 17.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$- 12 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Étape 17.4.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$- 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 17.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.7

Multipliez $- 12 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 12 \cdot - 1$

Étape 17.7.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$12$

Étape 18

$x = \frac{π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 19.2.1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 19.2.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Étape 19.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Étape 19.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Étape 19.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Étape 19.2.1.4.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Étape 19.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Étape 19.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Étape 19.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.6

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 19.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 19.2.1.8

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 19.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 19.2.1.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 - 3$

Étape 19.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ .

$(- \frac{π}{4}, 4)$ est un maximum local

$(\frac{π}{4}, - 2)$ est un minimum local

Étape 21