Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x + 1) (x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

$\int (x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x (x - 2) + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 2$ .

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + 1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.13

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.14

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.16.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.16.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.19

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.21

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.22

Multipliez $x$ par $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.23

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.25

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.27

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.28

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.29

Additionnez $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

$\int x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$