Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x^{2} - 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Étape 3.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Étape 3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x e^{x^{2} - 1}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x^{2} - 1}$