Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 (x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$0 - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x - \frac{π}{3})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]))$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Étape 1.2.6

Comme $- \frac{π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + 0)))$

Étape 1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \cdot 1))$

Étape 1.2.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \cdot 3)$

Étape 1.2.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - 3 (- 3 \sin (3 (x - \frac{π}{3})))$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$0 + 9 \sin (3 (x - \frac{π}{3}))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 + 9 \sin (3 x + 3 (- \frac{π}{3}))$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x - 3 \frac{π}{3})$

Étape 1.3.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{π}{3}$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- 3 π}{3})$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 π$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3})$

Étape 1.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 (1)})$

Étape 1.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 \cdot 1})$

Étape 1.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- π}{1})$

Étape 1.3.2.3.2.4

Divisez $- π$ par $1$ .

$0 + 9 \sin (3 x - π)$

Étape 1.3.2.4

Additionnez $0$ et $9 \sin (3 x - π)$ .

$9 \sin (3 x - π)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \sin (3 x - π)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\sin (3 x - π)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\sin (3 x - π))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x - π$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (3 x - π) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.5

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + 0)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) \cdot 3$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f'' (x) = 27 \cos (3 x - π)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$9 \sin (3 x - π) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $9 \sin (3 x - π) = 0$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (3 x - π) = 0$ par $9$ .

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\sin (3 x - π)$ par $1$ .

$\sin (3 x - π) = \frac{0}{9}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$\sin (3 x - π) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$3 x - π = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$3 x - π = 0$

Étape 7

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = π$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $3 x = π$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $3 x = π$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$3 x - π = π - 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$3 x - π = π$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = π + π$

Étape 10.2.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$3 x = 2 π$

Étape 10.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 2 π$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 10.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2 π$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Étape 10.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 11

La solution de l’équation est $3 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$27 \cos (3 (\frac{π}{3}) - π)$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun.

$27 \cos (3 \frac{π}{3} - π)$

Étape 13.1.2

Réécrivez l’expression.

$27 \cos (π - π)$

Étape 13.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$27 \cos (0)$

Étape 13.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$27 \cdot 1$

Étape 13.4

Multipliez $27$ par $1$ .

$27$

Étape 14

$x = \frac{π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π - π}{3}))$

Étape 15.2.1.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Étape 15.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Étape 15.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (0)$

Étape 15.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cdot 1$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3$

Étape 15.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$27 \cos (3 (\frac{2 π}{3}) - π)$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 17.1.1

Annulez le facteur commun.

$27 \cos (3 \frac{2 π}{3} - π)$

Étape 17.1.2

Réécrivez l’expression.

$27 \cos (2 π - π)$

Étape 17.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$27 \cos (π)$

Étape 17.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$27 (- \cos (0))$

Étape 17.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$27 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.5

Multipliez $27 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$27 \cdot - 1$

Étape 17.5.2

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$- 27$

Étape 18

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{2 π - π}{3}))$

Étape 19.2.1.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Étape 19.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 19.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Étape 19.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (π)$

Étape 19.2.1.4

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- \cos (0))$

Étape 19.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 19.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Étape 19.2.1.6.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 + 3$

Étape 19.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ .

$(\frac{π}{3}, - 2)$ est un minimum local

$(\frac{2 π}{3}, 4)$ est un maximum local

Étape 21