Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{20 x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Étape 1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$20 \int \frac{x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 7 - 3 x^{2}$ . Alors $d u = - 6 x d x$ , donc $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 7 - 3 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $7 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$0 - 6 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{6}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$20 \int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Étape 3.3

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt[3]{u}$ .

$20 \int - \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$20 (- \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $- 20$ .

$\frac{- 20}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $6$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$\frac{2 (- 10)}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 7.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 7.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 7.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 7.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 7.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 7.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{10}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$- \frac{30}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{30}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun à $30$ et $6$ .

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Étape 9.2.4.1

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.4.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$- 1 \cdot 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9.2.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - 3 x^{2}$ .

$- 5 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$