Calcul infinitésimal Exemples

$π \int_{0}^{1} [{(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2}] d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$π \int_{0}^{1} {(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4 \cdot 2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Étape 2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - {(x^{7})}^{2} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{7 \cdot 2} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{14} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$π (\int_{0}^{1} x^{8} d x + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$π (\frac{1}{9} x^{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{9}$ et $x^{9}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{14} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{14}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{1}{15} x^{15}]_{0}^{1}))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{15}$ et $x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{9}}{9}$ sur $1$ et sur $0$ .

$π ((\frac{1^{9}}{9}) - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{15}}{15}$ sur $1$ et sur $0$ .

$π (\frac{1^{9}}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $9$ .

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Étape 8.2.3.3.1

Factorisez $9$ à partir de $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 (0)}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (\frac{1}{9} - 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (\frac{1}{9} + 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.5

Additionnez $\frac{1}{9}$ et $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Étape 8.2.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{15}))$

Étape 8.2.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $15$ .

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Étape 8.2.3.8.1

Factorisez $15$ à partir de $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 (0)}{15}))$

Étape 8.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.8.2.1

Factorisez $15$ à partir de $15$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Étape 8.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Étape 8.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{1}))$

Étape 8.2.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - 0))$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} + 0))$

Étape 8.2.3.10

Additionnez $\frac{1}{15}$ et $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{1}{15})$

Étape 8.2.3.11

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15})$

Étape 8.2.3.12

Pour écrire $- \frac{1}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $45$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{5}{9 \cdot 5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.13.2

Multipliez $9$ par $5$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.13.3

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{15 \cdot 3})$

Étape 8.2.3.13.4

Multipliez $15$ par $3$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{45})$

Étape 8.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π \frac{5 - 3}{45}$

Étape 8.2.3.15

Soustrayez $3$ de $5$ .

$π \frac{2}{45}$

Étape 8.2.3.16

Associez $π$ et $\frac{2}{45}$ .

$\frac{π \cdot 2}{45}$

Étape 8.2.3.17

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{2 π}{45}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 π}{45}$

Forme décimale :

$0.13962634 \dots$

Étape 10