Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} - x y = e$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (e^{y} - x y) = \frac{d}{d y} (e)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{y} - x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{y} + \frac{d}{d y} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x y]$ .

$e^{y} - \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$e^{y} - (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{y} - (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$e^{y} - (x \cdot 1 + y x')$

Étape 2.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{y} - (x + y x')$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y} - x - (y x')$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{y} - x - y x'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y x' - x + e^{y}$

Étape 3

Comme $e$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y x' - x + e^{y} = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$- y x' + e^{y} = x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$- y x' = x - e^{y}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- y x' = x - e^{y}$ par $- y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- y x' = x - e^{y}$ par $- y$ .

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

Étape 5.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$