Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

Étape 1

Divisez $x$ par $x + 10$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 10$

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

Étape 5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

Étape 6

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

Étape 7

Laissez $u = x + 10$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = x + 10$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 7.1.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 10$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Étape 7.3

Additionnez $0$ et $10$ .

$u_{lower} = 10$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 10$ .

$u_{upper} = 5 + 10$

Étape 7.5

Additionnez $5$ et $10$ .

$u_{upper} = 15$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $x$ sur $5$ et sur $0$ .

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Étape 9.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $15$ et sur $10$ .

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

Étape 9.3

Additionnez $5$ et $0$ .

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $15$ est $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

Étape 11.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $10$ est $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $15$ et $10$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Forme décimale :

$0.94534891 \dots$

Étape 13