Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 x - \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{10} x^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x - \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{10} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- \frac{5}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{8} x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 3 - \frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 3 - \frac{5}{8} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 + 2 (\frac{5}{8}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.4

Associez $2$ et $\frac{5}{8}$ .

$- 3 + \frac{2 \cdot 5}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$- 3 + \frac{10}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.6

Associez $\frac{10}{8}$ et $x^{- 3}$ .

$- 3 + \frac{10 x^{- 3}}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.7

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 + \frac{10}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.8

Annulez le facteur commun à $10$ et $8$ .

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Étape 1.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$- 3 + \frac{2 (5)}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{3}$ .

$- 3 + \frac{2 (5)}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 + \frac{2 \cdot 5}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.4.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.4.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- \frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{10} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{10} (5 x^{4})$

Étape 1.5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 5 (\frac{1}{10}) x^{4}$

Étape 1.5.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{10}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 5}{10} x^{4}$

Étape 1.5.5

Associez $\frac{- 5}{10}$ et $x^{4}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 5 x^{4}}{10}$

Étape 1.5.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $10$ .

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Étape 1.5.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5 (- x^{4})}{10}$

Étape 1.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (2)}$

Étape 1.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2}$

Étape 1.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- x^{4}}{2}$

Étape 1.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{2}$

Étape 1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5}{4 x^{3}} - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x^{4}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5}{4 x^{3}} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{- 4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $- 2 x^{3}$ par $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$- 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 2 x^{3} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{6}{2}$ et $x$ .

$- 2 x^{3} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$- 2 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.6.2.4

Divisez $3 x$ par $1$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{4 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.8

Associez $- 3$ et $\frac{5}{4}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 3 \cdot 5}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.9

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 15}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.10

Associez $\frac{- 15}{4}$ et $x^{- 4}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 15 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.11

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}} + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- \frac{15}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{15}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 3.4.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 3.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 3.4.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 x^{- 5})$

Étape 3.4.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 + 4 (\frac{15}{4}) x^{- 5}$

Étape 3.4.9

Associez $4$ et $\frac{15}{4}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4} x^{- 5}$

Étape 3.4.10

Multipliez $4$ par $15$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{60}{4} x^{- 5}$

Étape 3.4.11

Associez $\frac{60}{4}$ et $x^{- 5}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{60 x^{- 5}}{4}$

Étape 3.4.12

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{60}{4 x^{5}}$

Étape 3.4.13

Annulez le facteur commun à $60$ et $4$ .

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Étape 3.4.13.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4 x^{5}}$

Étape 3.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{5}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4 (x^{5})}$

Étape 3.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4 x^{5}}$

Étape 3.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{15}{x^{5}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 6 x^{2} + \frac{15}{x^{5}} + 3$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{2} + \frac{15}{x^{5}} + 3$ .

$- 6 x^{2} + \frac{15}{x^{5}} + 3$