Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \sqrt{2 x}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sqrt{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.4

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.12

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.13

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$0 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.15.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$0 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$