Calcul infinitésimal Exemples

Find the derivative of $\sin^{2} (x + 5)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x + 5)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x + 5)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x + 5)$ .

$2 \sin (x + 5) \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + 0)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) \cdot 1$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$ .

$2 \cos (x + 5) \sin (x + 5)$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x + 5)$ et $\sin (x + 5)$ .

$\sin (x + 5) (2 \cos (x + 5))$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x + 5)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Étape 4.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 (x + 5))$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (2 x + 2 \cdot 5)$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$\sin (2 x + 10)$