Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Étape 13.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + x]_{- 2}^{1}$

Étape 13.4

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.2

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.5

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.6

Associez $- 4$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.8.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$4 \frac{1 - 16}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.8.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$4 (\frac{- 15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.11

Associez $- 4$ et $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.12

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$\frac{- 60}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.13

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.13.1

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$\frac{4 \cdot - 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 15}{4 (1)} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 15}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15}{1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.13.2.4

Divisez $- 15$ par $1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.15

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.18

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 15 + 5 \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.20

Additionnez $1$ et $8$ .

$- 15 + 5 (\frac{9}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.21

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.21.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.21.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.21.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 15 + 5 (\frac{3}{1}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.21.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$- 15 + 5 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.22

Multipliez $5$ par $3$ .

$- 15 + 15 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.23

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.24

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.25

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.26

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.26.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.26.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 1 + 2$

Étape 13.5.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 1 + 2$

Étape 13.5.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 1 + 2$

Étape 13.5.26.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 1 + 2$

Étape 13.5.27

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 2) + 1 + 2$

Étape 13.5.28

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.29

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 1 + 2$

Étape 13.5.31

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.31.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$0 - \frac{1 - 4}{2} + 1 + 2$

Étape 13.5.31.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - \frac{- 3}{2} + 1 + 2$

Étape 13.5.32

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - - \frac{3}{2} + 1 + 2$

Étape 13.5.33

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{2}) + 1 + 2$

Étape 13.5.34

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$0 + \frac{3}{2} + 1 + 2$

Étape 13.5.35

Additionnez $0$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 1 + 2$

Étape 13.5.36

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{2} + 3$

Étape 13.5.37

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 13.5.38

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 13.5.39

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 13.5.40

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.40.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 + 6}{2}$

Étape 13.5.40.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{2}$

Forme décimale :

$4.5$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{2}$

Étape 15