Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Étape 1.1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Étape 1.1.3.1.4

Placez le terme $14$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Étape 1.1.3.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Étape 1.1.3.1.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $14$ par $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 3} - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Soustrayez $3$ de $28$ .

$\frac{0}{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{2 x} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.12

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.13

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.15

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.15.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.3.3.15.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.15.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.15.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.3.15.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{14 x - 3} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14 x - 3}$ comme ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 14 x - 3$ .

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Étape 1.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $14 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.4

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.12

Multipliez $14$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.13

Additionnez $14$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.15

Associez $\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.16

Déplacez $14$ à gauche de ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14 \cdot {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.17

Placez ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.18

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.7.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 ({(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.19.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7.19.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Étape 1.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Étape 1.5.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Étape 1.5.3

Réécrivez ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{14 x - 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Étape 1.6.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ par $\frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x} \cdot 7}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{7}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Étape 2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Étape 2.5

Placez le terme $14$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Étape 2.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}$

Étape 2.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $14$ par $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $3$ de $28$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{4}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{7 \cdot 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{5}{14}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{14}$

Forme décimale :

$0.3\overline{571428}$