Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{2} (| x - 1 | + 2) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 2}^{2} | x - 1 | + 2 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{2} | x - 1 | d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale selon là où $x - 1$ est positif et négatif.

$\int_{- 2}^{1} - x + 1 d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ et $- x]_{1}^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

Étape 13.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

Étape 13.2.2

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

Étape 13.2.3

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ sur $2$ et sur $1$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + 2 x]_{- 2}^{2}$

Étape 13.2.4

Évaluez $2 x$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (\frac{1}{2} - 2) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.5

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.6

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.8.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{1 - 4}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.8.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \frac{- 3}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.11

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.12

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{2} + 3 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.13

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.14

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.16

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.16.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 + 6}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.16.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{9}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.18

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.19

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.19.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.19.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} + \frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.19.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.20

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{9}{2} + 2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.21

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.22

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.23

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.24

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} - 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.25

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.26

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{2} + 0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.28

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.28.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{9}{2} + 0 - \frac{1 - 2}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.28.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{9}{2} + 0 - \frac{- 1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.29

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{2} + 0 - - \frac{1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.30

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9}{2} + 0 + 1 (\frac{1}{2}) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.31

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{9}{2} + 0 + \frac{1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.32

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.33

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 + 1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.34

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{10}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.35

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.35.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.35.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.5.35.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.35.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.35.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{1} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.35.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$5 + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.36

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 + 4 - 2 \cdot - 2$

Étape 13.2.5.37

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$5 + 4 + 4$

Étape 13.2.5.38

Additionnez $4$ et $4$ .

$5 + 8$

Étape 13.2.5.39

Additionnez $5$ et $8$ .

$13$

Étape 14