Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$6 x^{2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y y' + 5 y' = - 6 x^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 y y' + 5 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 y y'$ .

$y' (4 y) + 5 y' = - 6 x^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $5 y'$ .

$y' (4 y) + y' \cdot 5 = - 6 x^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 y) + y' \cdot 5$ .

$y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ par $4 y + 5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ par $4 y + 5$ .

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4 y + 5$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$