Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{9} (2 x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{9} 2 x + \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{9} 2 x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $9$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Étape 7.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $9$ et sur $1$ .

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3

Simplifiez

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Étape 7.1.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{81 - 1}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.4

Soustrayez $1$ de $81$ .

$2 (\frac{80}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.5

Annulez le facteur commun à $80$ et $2$ .

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Étape 7.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $80$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{40}{1}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.5.2.4

Divisez $40$ par $1$ .

$2 \cdot 40 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.1.3.6

Multipliez $2$ par $40$ .

$80 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 7.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$80 + \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$80 + \ln (\frac{9}{| 1 |})$

Étape 7.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$80 + \ln (\frac{9}{1})$

Étape 7.3.3

Divisez $9$ par $1$ .

$80 + \ln (9)$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$80 + \ln (9)$

Forme décimale :

$82.19722457 \dots$

Étape 9