Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (8 z + 4 z^{3} - 6 z^{2}) d z$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{2} 8 z + 4 z^{3} - 6 z^{2} d z$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} 8 z d z + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $z$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{0}^{2} z d z + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $z^{2}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $z$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{3}$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{4} z^{4}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{4} z^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Étape 8

Associez $\frac{1}{4}$ et $z^{4}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Étape 9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} z^{2} d z$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{2}$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $z^{3}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{z^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$8 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{z^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $0$ .

$8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Étape 11.2.3

Évaluez $\frac{z^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$8 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$8 (2 - \frac{0}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$8 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (2 - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$8 (2 - 0) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 (2 + 0) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$8 \cdot 2 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.7

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.8

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 + 4 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.9

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.9.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 + 4 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.9.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$16 + 4 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$16 + 4 (4 - \frac{0}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.11.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$16 + 4 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$16 + 4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 + 4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 + 4 (4 - \frac{0}{1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$16 + 4 (4 - 0) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$16 + 4 (4 + 0) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.13

Additionnez $4$ et $0$ .

$16 + 4 \cdot 4 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.14

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 + 16 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.15

Additionnez $16$ et $16$ .

$32 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.16

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 11.2.4.17

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 11.2.4.18

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.18.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 11.2.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 11.2.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 11.2.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 11.2.4.18.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - 0)$

Étape 11.2.4.19

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} + 0)$

Étape 11.2.4.20

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3})$

Étape 11.2.4.21

Associez $- 6$ et $\frac{8}{3}$ .

$32 + \frac{- 6 \cdot 8}{3}$

Étape 11.2.4.22

Multipliez $- 6$ par $8$ .

$32 + \frac{- 48}{3}$

Étape 11.2.4.23

Annulez le facteur commun à $- 48$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.23.1

Factorisez $3$ à partir de $- 48$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Étape 11.2.4.23.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.23.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Étape 11.2.4.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$32 + \frac{- 16}{1}$

Étape 11.2.4.23.2.4

Divisez $- 16$ par $1$ .

$32 - 16$

Étape 11.2.4.24

Soustrayez $16$ de $32$ .

$16$

Étape 12