Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , donc $3 d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 5.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Étape 6.3

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

Étape 8

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 10.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 11

Associez $\sin (u_{2})$ et $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Étape 12

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 13

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Étape 14

Simplifiez

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$