Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5}{5 x^{2} + 5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{5 x^{2} + 5})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun à $5$ et $5 x^{2} + 5$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 x^{2} + 5}]$

Étape 3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5}]$

Étape 3.1.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5 (1)}]$

Étape 3.1.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2}) + 5 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Étape 3.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Étape 3.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 3.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$