Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{- x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{- x})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} x'$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$

Étape 3.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$ .

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$ .

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$ .

$- x x' e^{- x} + x' e^{- x} = 1$

Étape 5.3

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $- x x' e^{- x} + x' e^{- x}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1 = 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1$ .

$x' e^{- x} (- x + 1) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ par $e^{- x} (- x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ par $e^{- x} (- x + 1)$ .

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $- x + 1$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) + 1)}$

Étape 5.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) - 1 (- 1))}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x - 1))}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.4.3.4.1

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- 1 (x - 1))}$

Étape 5.4.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$