Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{2 lim_{h \to 0} \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $2 \sqrt[3]{8}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + 0} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2^{3}} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{2^{3}}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{2^{3}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}]$ .

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Étape 1.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{8 + h}$ comme ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $h$ est $2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ et $g (h) = 8 + h$ .

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Étape 1.3.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.5

Comme $8$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $8$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.5.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.12

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.13

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.14

Multipliez $\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.15

Placez ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.16

Associez $2$ et $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.7

Additionnez $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{2}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{{(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{2}}$

Étape 4.3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{2}{12}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$