Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sqrt{1 - \sin (x)}}{x^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - \sin (x)}$ comme ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9.2.2

Placez ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9.2.3

Associez $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 9.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 10

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \cos (x)) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 x)}{x^{4}}$

Étape 11.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x}{x^{4}}$

Étape 12

Associez $- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x$ en utilisant un dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Déplacez ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{4}}$

Étape 12.2

Pour écrire $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 12.3

Associez $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 13

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 14

Multipliez ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Déplacez ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x ({(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 14.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{2}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 14.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 15

Simplifiez $- 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Étape 16

Réécrivez $\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$ comme un produit.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4}}$

Étape 17

Multipliez $\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 18.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 18.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x + 4 x \sin (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 18.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x \sin (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4.3

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x))$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 18.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 18.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.7

Factorisez $- 1$ à partir de $4 \sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.9

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.11

Réécrivez $- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ comme $- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$