Calcul infinitésimal Exemples

$- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 5 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$- 5 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$- 5 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 5 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 5 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 9 y^{2} y' + 2 x$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' + 2 x - 5 - 4 y'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' + 2 x - 5 - 4 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 5 - 4 y' = - 2 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 4 y' = - 2 x + 5$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 4 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + 9 y^{2} y' - 4 y' = - 2 x + 5$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $9 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 2 x + 5$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 2 x + 5$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 y) + y' (9 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 2 x + 5$

Étape 5.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 y + 9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (- 2 y + 9 y^{2} - 4) = - 2 x + 5$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$ par $9 y^{2} - 2 y - 4$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$ par $9 y^{2} - 2 y - 4$ .

$\frac{y' (9 y^{2} - 2 y - 4)}{9 y^{2} - 2 y - 4} = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $9 y^{2} - 2 y - 4$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (9 y^{2} - 2 y - 4)}{9 y^{2} - 2 y - 4} = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x + 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.3.3

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- (2 x - 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.5.1

Réécrivez $- (2 x - 5)$ comme $- 1 (2 x - 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x - 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$