Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$