Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Étape 1

Écrivez $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \cos^{4} (x) d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 5.2

Réécrivez ${\cos (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 7

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ comme un produit.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2

Développez ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.7

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.8

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.9

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.10

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.11

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.12

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.13

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.14

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.16

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.17

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.18

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.19

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.20

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.21

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.22

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.23

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.24

Multipliez $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.25

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.26

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.27

Multipliez $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.28

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.29

Associez $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.30

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.31

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.32

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.33

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.34

Additionnez $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.35

Associez $2$ et $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.36

Remettez dans l’ordre $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.2.37

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 11

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 12

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 14.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 15

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 16

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 17

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 17.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 17.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 17.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 17.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 17.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 17.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 18

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 19

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 20

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 21

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 22

Associez $\frac{1}{4}$ et $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 23

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 24

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Étape 25

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \sin^{4} (x) d x$

Étape 26

Simplifiez en factorisant.

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Étape 26.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Étape 26.2

Réécrivez ${\sin (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Étape 27

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Étape 28

Laissez $u_{3} = 2 x$ . Alors $d u_{3} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 28.1

Laissez $u_{3} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 28.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 28.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 28.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 28.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 28.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\frac{1 - \cos (u_{3})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 29

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{3})}{2})}^{2} d u_{3})$

Étape 30

Simplifiez en multipliant.

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Étape 30.1

Réécrivez $\frac{1 - \cos (u_{3})}{2}$ comme un produit.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})))}^{2} d u_{3}$

Étape 30.2

Développez ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})))}^{2}$ .

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Étape 30.2.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 30.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.7

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.8

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.9

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.10

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.11

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.12

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.13

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.14

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.15

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.16

Déplacez $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.17

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.18

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Étape 30.2.19

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3})) d u_{3}$

Étape 30.2.20

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.21

Déplacez $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.22

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.23

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.24

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.25

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.26

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.27

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.28

Associez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.29

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.30

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.31

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.32

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.33

Associez $- \frac{\cos (u_{3})}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.34

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.35

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.36

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.37

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.38

Multipliez $\frac{\cos (u_{3})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{2 \cdot 2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.39

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{4} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.40

Associez $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ et $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3}) \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.41

Élevez $\cos (u_{3})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{3}) \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.42

Élevez $\cos (u_{3})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{3}) \cos^{1} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.43

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{{\cos (u_{3})}^{1 + 1}}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.44

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.45

Soustrayez $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ de $- \frac{\cos (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.46

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.47

Remettez dans l’ordre $\frac{- 2 \cos (u_{3})}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.2.48

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 30.3

Simplifiez

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Étape 30.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 30.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (u_{3})$ .

Étape 30.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 30.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

Étape 30.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 30.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

Étape 30.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

Étape 31

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 32

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 33

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{3})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{3})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{3})}{2} d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 34

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 35

Simplifiez

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Étape 35.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 35.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 36

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{3} + \int \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 37

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 38

Laissez $u_{4} = 2 u_{3}$ . Alors $d u_{4} = 2 d u_{3}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{4} = d u_{3}$ . Réécrivez avec $u_{4}$ et $d$ $u_{4}$ .

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Étape 38.1

Laissez $u_{4} = 2 u_{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{4}}{d u_{3}}$ .

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Étape 38.1.1

Différenciez $2 u_{3}$ .

$\frac{d}{d u_{3}} [2 u_{3}]$

Étape 38.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{3}$ , la dérivée de $2 u_{3}$ par rapport à $u_{3}$ est $2 \frac{d}{d u_{3}} [u_{3}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{3}} [u_{3}]$

Étape 38.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 38.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 38.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{4}$ et $d u_{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \cos (u_{4}) \frac{1}{2} d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 39

Associez $\cos (u_{4})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \frac{\cos (u_{4})}{2} d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 40

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{4}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{4}) d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 41

L’intégrale de $\cos (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 42

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{1}{4} u_{3} + C + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 43

Associez $\frac{1}{4}$ et $u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 44

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 45

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Étape 46

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Étape 47

Simplifiez

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Étape 47.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2

Simplifiez

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Étape 47.2.1

Pour écrire $\frac{u_{1}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 47.2.2.1

Multipliez $\frac{u_{1}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2.5

Additionnez $u_{1}$ et $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 47.2.7

Associez $\sin (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 47.2.8

Pour écrire $\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 47.2.9

Associez $\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 47.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 47.2.11

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 47.2.12

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 47.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 47.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 47.2.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 47.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 47.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 48

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 48.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 48.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Étape 48.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 48.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $2 u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 u_{3})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 48.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 u_{3})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 48.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49

Simplifiez

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Étape 49.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 49.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 49.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 49.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.3

Simplifiez

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Étape 49.3.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

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Étape 49.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 x}{4}$ .

$\frac{3 x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.3.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.3.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16}$ .

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Étape 49.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (4 x)}{16}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.3.2.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.3.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Étape 49.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 49.4.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 49.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 (x)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 49.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 49.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 49.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 (2)} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (x)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3.4

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

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Étape 49.4.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.4.3.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 49.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 49.6

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 49.7

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 49.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot 2 + x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 49.9

Additionnez $x \cdot 2$ et $x$ .

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Étape 49.9.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot x + x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 49.9.2

Additionnez $2 \cdot x$ et $x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 \cdot x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 49.10

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}$ .

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Étape 49.10.1

Multipliez $\frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 49.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{4} + C$

Étape 50

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{4} (\frac{3}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) - \sin (2 x)) + C$

Étape 51

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{4} (\frac{3}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) - \sin (2 x)) + C$