Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

Étape 1

Complétez le carré pour $2 x^{2} + x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Étape 2

Remplacez $2 x^{2} + x$ par $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ dans l’équation $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

Étape 3

Déplacez $- \frac{1}{8}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{8}$ des deux côtés.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

Étape 4

Complétez le carré pour $2 y^{2} + y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Étape 5

Remplacez $2 y^{2} + y$ par $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ dans l’équation $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

Étape 6

Déplacez $- \frac{1}{8}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{8}$ des deux côtés.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 7

Complétez le carré pour $2 z^{2} + z$ .

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Étape 7.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 7.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 7.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 7.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Étape 7.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 7.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Étape 7.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Étape 8

Remplacez $2 z^{2} + z$ par $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ dans l’équation $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 9

Déplacez $- \frac{1}{8}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{8}$ des deux côtés.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 10

Simplifiez $9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ .

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Étape 10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

Étape 10.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

Étape 10.3

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Étape 10.4

Associez $9$ et $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Étape 10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

Étape 10.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.1

Multipliez $9$ par $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

Étape 10.6.2

Additionnez $72$ et $3$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

Étape 11