Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x) - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.6.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.6.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} - 2 \cdot 0}$

Étape 1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Étape 1.3.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - \cos (x) - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 3.9.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 2 + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Étape 7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 - 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 - 2 + 0}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.4

Additionnez $1 - 2$ et $0$ .

$\frac{1 - 2}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{- 1}{0 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 1}{0 - 2}$

Étape 13.2.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{- 1}{- 2}$

Étape 13.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{1}{2}$