Calcul infinitésimal Exemples

${(3 x + y)}^{5} = 4 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(3 x + y)}^{5}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 3 x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + y$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$5 {(3 x + y)}^{4} (3 + y') = 12 y^{2} y'$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 {(3 x + y)}^{4} \cdot 3 + 5 {(3 x + y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 {(3 x + y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

Étape 5.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $15 {(3 x + y)}^{4} + 5 {(3 x + y)}^{4} y'$ .

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} = 12 y^{2} y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $12 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$15 {(3 x + y)}^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$15 ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$15 (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$15 (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.3

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$15 (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$15 (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.5

Multipliez $27$ par $4$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.8

Multipliez $9$ par $6$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.9

Multipliez $3$ par $4$ .

$15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}) + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$15 (81 x^{4}) + 15 (108 x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.2.4.1

Multipliez $81$ par $15$ .

$1215 x^{4} + 15 (108 x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2

Multipliez $108$ par $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 15 (54 x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3

Multipliez $54$ par $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 810 (x^{2} y^{2}) + 15 (12 x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.4

Multipliez $12$ par $15$ .

$1215 x^{4} + 1620 (x^{3} y) + 810 (x^{2} y^{2}) + 180 (x y^{3}) + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.5

Supprimez les parenthèses.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' {(3 x + y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.6

Utilisez le théorème du binôme.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.3

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.5

Multipliez $27$ par $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.6

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.8

Multipliez $9$ par $6$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.9

Multipliez $3$ par $4$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 y' (81 x^{4}) + 5 y' (108 x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9

Simplifiez

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Étape 5.2.2.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 5 y' (108 x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.2

Multipliez $108$ par $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 5 y' (54 x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.3

Multipliez $54$ par $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 270 y' (x^{2} y^{2}) + 5 y' (12 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.4

Multipliez $12$ par $5$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 5 \cdot 81 y' x^{4} + 540 y' (x^{3} y) + 270 y' (x^{2} y^{2}) + 60 y' (x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $5$ par $81$ .

$1215 x^{4} + 1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $1215 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$1620 x^{3} y + 810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1620 x^{3} y$ des deux côtés de l’équation.

$810 x^{2} y^{2} + 180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y$

Étape 5.3.3

Soustrayez $810 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$180 x y^{3} + 15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $180 x y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$15 y^{4} + 405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3}$

Étape 5.3.5

Soustrayez $15 y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $405 y' x^{4} + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $405 y' x^{4}$ .

$y' (405 x^{4}) + 540 y' x^{3} y + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $540 y' x^{3} y$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + 270 y' x^{2} y^{2} + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $270 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + 60 y' x y^{3} + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $60 y' x y^{3}$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + 5 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $5 y' y^{4}$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) - 12 y^{2} y' = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.6

Factorisez $y'$ à partir de $- 12 y^{2} y'$ .

$y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (405 x^{4}) + y' (540 x^{3} y)$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.8

Factorisez $y'$ à partir de $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y) + y' (270 x^{2} y^{2})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.9

Factorisez $y'$ à partir de $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2}) + y' (60 x y^{3})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3}) + y' (5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.10

Factorisez $y'$ à partir de $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3}) + y' (5 y^{4})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.4.11

Factorisez $y'$ à partir de $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4}) + y' (- 12 y^{2})$ .

$y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}) = - 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y - 810 x^{2} y^{2} - 180 x y^{3} - 15 y^{4}$ par $405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

$\frac{y' (405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} = \frac{- 1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 5.5.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(1215) x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(1620) x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(810) x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{(180) x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} + \frac{- 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1215 x^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.5.3.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Factorisez $405 x^{3}$ à partir de $- 1215 x^{4} - 1620 x^{3} y$ .

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $405 x^{3}$ à partir de $- 1215 x^{4}$ .

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x) - 1620 x^{3} y}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Factorisez $405 x^{3}$ à partir de $- 1620 x^{3} y$ .

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x) + 405 x^{3} (- 4 y)}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2.2.3

Factorisez $405 x^{3}$ à partir de $405 x^{3} (- 3 x) + 405 x^{3} (- 4 y)$ .

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x - 4 y)}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{405 x^{3} (- 3 x - 4 y) - 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.2.1

Factorisez $405 x^{2}$ à partir de $405 x^{3} (- 3 x - 4 y) - 810 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 5.5.3.2.1.1

Factorisez $405 x^{2}$ à partir de $405 x^{3} (- 3 x - 4 y)$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) - 810 x^{2} y^{2}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2.1.2

Factorisez $405 x^{2}$ à partir de $- 810 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) + 405 x^{2} (- 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2.1.3

Factorisez $405 x^{2}$ à partir de $405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y)) + 405 x^{2} (- 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x - 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{405 x^{2} (x (- 3 x) + x (- 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x \cdot x + x (- 4 y) - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x \cdot x - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.2.5.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 (x \cdot x) - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.4.1

Factorisez $45 x$ à partir de $405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 180 x y^{3}$ .

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Étape 5.5.3.4.1.1

Factorisez $45 x$ à partir de $405 x^{2} (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) - 180 x y^{3}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.1.2

Factorisez $45 x$ à partir de $- 180 x y^{3}$ .

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) + 45 x (- 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.1.3

Factorisez $45 x$ à partir de $45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2})) + 45 x (- 4 y^{3})$ .

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2} - 4 x y - 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{45 x (9 x (- 3 x^{2}) + 9 x (- 4 x y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.4.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x (- 4 x y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.4.3.2.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 (x \cdot x) (- 4 y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 x (- 2 y^{2}) - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.4.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.4.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 (x^{2} x) + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.4.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = \frac{45 x (9 \cdot - 3 x^{3} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4.2

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} + 9 x^{2} (- 4 y) + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} + 9 \cdot - 4 x^{2} y + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4.4

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y + 9 \cdot - 2 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.4.4.5

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}} - \frac{15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.6.1

Factorisez $15$ à partir de $45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - 15 y^{4}$ .

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Étape 5.5.3.6.1.1

Factorisez $15$ à partir de $45 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})$ .

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) - 15 y^{4}}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.1.2

Factorisez $15$ à partir de $- 15 y^{4}$ .

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) + 15 (- y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.1.3

Factorisez $15$ à partir de $15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3})) + 15 (- y^{4})$ .

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3} - 36 x^{2} y - 18 x y^{2} - 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{15 (3 x (- 27 x^{3}) + 3 x (- 36 x^{2} y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.6.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x (- 36 x^{2} y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.6.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 (x^{2} x) (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.6.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{2 + 1} (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x (- 18 x y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.6.3.3.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 (x \cdot x) (- 18 y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 x (- 4 y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x \cdot x^{3} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.6.4.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.6.4.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 (x^{3} x) + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 5.5.3.6.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 (x^{3} x^{1}) + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x^{3 + 1} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$y' = \frac{15 (3 \cdot - 27 x^{4} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.2

Multipliez $3$ par $- 27$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} + 3 x^{3} (- 36 y) + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} + 3 \cdot - 36 x^{3} y + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.4

Multipliez $3$ par $- 36$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 3 x^{2} (- 18 y^{2}) + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 3 \cdot - 18 x^{2} y^{2} + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.6

Multipliez $3$ par $- 18$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} + 3 \cdot - 4 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.6.4.7

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$y' = \frac{15 (- 81 x^{4} - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.5.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 81 x^{4}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4}) - 108 x^{3} y - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 108 x^{3} y$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4}) - (108 x^{3} y) - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (81 x^{4}) - (108 x^{3} y)$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 54 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - (54 x^{2} y^{2}) - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y) - (54 x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - 12 x y^{3} - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 x y^{3}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - (12 x y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2}) - (12 x y^{3})$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{4}$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - (y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3}) - (y^{4})$ .

$y' = \frac{15 (- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.7.10.1

Réécrivez $- (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})$ comme $- 1 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})$ .

$y' = \frac{15 (- 1 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}))}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 5.5.3.7.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15 (81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4})}{405 x^{4} + 540 x^{3} y + 270 x^{2} y^{2} + 60 x y^{3} + 5 y^{4} - 12 y^{2}}$